Вычитание

Вычитание чисел

Что такое вычитание?
Проверка вычитания

Вычитание – это арифметическое действие обратное сложению, посредством которого из одного числа вычитают (отнимают) столько единиц, сколько их содержится в другом числе.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, число, которое указывает сколько единиц будет вычтено из первого числа, называется вычитаемым. Число, получаемое в результате вычитания, называется разностью (или остатком).

Рассмотрим вычитание на примере. На столе лежит 9 конфет, если съесть 5 конфет, то их останется 4. Число 9 является уменьшаемым, 5 – вычитаемым, а 4 – остатком (разностью):

Для записи вычитания используется знак – (минус). Он ставится между уменьшаемым и вычитаемым, при этом уменьшаемое записывается слева от знака минус, а вычитаемое – справа. Например, запись 9 – 5 означает, что из числа 9 вычитается число 5. Справа от записи вычитания ставят знак = (равно), после которого записывают результат вычитания. Таким образом, полная запись вычитания выглядит так:

Эта запись читается так: разность девяти и пяти равняется четырём или девять минус пять равно четыре.

Чтобы в результате вычитания получить натуральное число или 0, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равно ему.

Рассмотрим, как, используя натуральный ряд, можно выполнить вычитание и найти разность двух натуральных чисел. Например, нам необходимо вычислить разность чисел 9 и 6, отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получим число 3:

9 – 6 = 3

Вычитание также можно использовать для сравнения двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаёмся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 10 меньше 25 (или на сколько 25 больше 10), надо из 25 вычесть 10.

Тогда найдём, что 10 меньше 25 (или 25 больше 10) на 15 единиц.

Проверка вычитания

Рассмотрим выражение

15 – 7 = 8

где 15 – это уменьшаемое, 7 – это вычитаемое, а 8 – разность. Чтобы узнать правильно ли было выполнено вычитание, можно:

вычитаемое сложить с разностью, если получится уменьшаемое, то вычитание было выполнено верно:
7 + 8 = 15
от уменьшаемого отнять разность, если получится вычитаемое, то вычитание было выполнено верно:
15 – 8 = 7

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/vychitanie.php

Вычитание – это… что такое вычитание?

вычитание — вычет, удержание, скидка, сбавка; действие, отнимание, удерживание, высчитывание. Ant. прибавление, добавление, добавка Словарь русских синонимов. вычитание сущ.) Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 … Словарь синонимов
ВЫЧИТАНИЕ — ВЫЧИТАНИЕ, вычитания, ср. (мат.). Одно из четырех арифметических действий, посредством которого по двум числам отыскивается третье, дающее в сумме со вторым первое; ант. сложение. Правило вычитания. Произвести вычитание. Толковый словарь Ушакова … Толковый словарь Ушакова
вычитание — ВЫЧИТАНИЕ, отнимание ВЫЧИТАТЬ/ВЫЧЕСТЬ, разг. отнимать/отнять … Словарь-тезаурус синонимов русской речи
ВЫЧИТАНИЕ — ВЫЧИТАНИЕ, я, ср. Обратное сложению математическое действие: нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Задача на в. Знак вычитания (). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Вычитание — (убавление) одно из четырёх арифметических действий; операция, обратная сло … Википедия
Вычитание — арифметическое действие, обратное сложению. Вычесть одно число (вычитаемое) из другого (уменьшаемого) значит найти такое третье (называемое разностью между уменьшаемым и вычитаемым), которое, будучи сложено с вычитаемым, даст сумму, равную… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
вычитание — я; ср. Обратное сложению математическое действие нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Задача на в. * * * вычитание арифметическое действие, обратное сложению, то есть нахождение одного из слагаемых (разности) по данной… … Энциклопедический словарь
вычитание — ▲ уменьшение ↑ аддитивный < > сложение вычитать уменьшение на определенную величину; отделять от величины некоторую часть; удалять часть количества. вычитание операция, обратная сложению. отнять. уменьшаемое. вычитаемое величина уменьшения … Идеографический словарь русского языка
Вычитание — действие, обратное сложению (См. Сложение); задачей В. является определение одного из двух слагаемых, когда даны сумма и другое слагаемое. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое вычитаемым, результат действия разностью. В… … Большая советская энциклопедия
Вычитание — ср. Обратное сложению арифметическое действие, посредством которого от одной величины отнимается другая величина. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/94742

Вычитание – правила, секретные примеры, упражнения, игры

В мире математики существуют разнообразные операции с числами и переменными. Самыми основными, конечно, являются: сложение, вычитание, деление, умножение. И в данной статье пойдет речь об операции – Вычитание.

Операция вычитание, как и сложение, является немало важной даже в повседневной жизни. Вычитание часто может пригодиться при подсчете сдачи в магазине. Например, у вас с собой одна тысяча (1000) рублей, а ваши покупки составляют 870.

Вы, еще не расплатившись, поинтересуетесь: «А сколько же сдачи у меня останется?». Так вот, 1000-870 и будет 130. И таких подсчетов много разных и не освоив эту тему, будет трудно в реальной жизни.

Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.

Формула сложения выражается так: a – b = c

Самые простые примеры это на яблоках. У Васи было 5 яблок, а у Пети не было яблок. Вася решил поделиться с Петей и отдал ему 3 яблока. Сколько яблок останется у Васи?

a – яблок у Васи изначально.

b – количество яблок отданных Пете.

c – яблок у Васи после передачи.

Подставим в формулу:

5-3=2

Вычитание чисел

Вычитание чисел легко освоить любому первокласснику. Например, из 6 нужно вычесть 5. 6-5=1, 6 больше числа 5 на единицу, значит, и ответ будет единицей. Можно для проверки произвести сложение 1+5=6. Если вы не знакомы со сложением, то можете прочитать нашу статью о сложении.

Большое число делится на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Если вычитать единицы, то все легко и просто. Но допустим пример: 14-7. В числе 14: 1-десяток, а 4- единицы. 1 десяток – 10 единиц. Тогда получаем 10+4-7, сделаем так: 10-7+4, 10 – 7 =3, а 3+4=7. Ответ найден верно!

Рассмотрим пример 23 -16. Первое число 2 десятка и 3 единицы, а второе 1 десяток и 6 единиц. Представим число 23 как 10+10+3, а 16 как 10+6, тогда представим 23-16 как 10+10+3-10-6. Тогда 10-10=0, останется 10+3-6, 10-6=4, тогда 4+3=7. Ответ найден!

Аналогично делается с сотнями и тысячами

Вычитание столбиком

Рассмотрим пример 4312-901. Для начала запишем числа друг под другом, так чтобы из числа 901 единица была под 2, 0 под 1, 9 под 3.

Затем производим вычитание справа налево, то есть из числа 2 число 1. Получаем единицу:

Далее вычитаем из единицы ноль и получаем единицу:

Вычитая из тройки девять, нужно позаимствовать 1 десяток. То есть из 4 вычитаем 1 десяток. 10+3-9=4.

А так как у 4 заняли 1, то 4-1=3

Ответ: 3411.

Вычитание дробей

Представим арбуз. Арбуз – это одно целое, а разрезав пополам, мы получим что-то меньшее, чем единица верно? Половинка единицы. Как это записать?

½, так мы обозначаем половину одного целого арбуза, а если поделить арбуз на 4 равные части, то каждая из них будет обозначаться ¼. И так далее…

вычитание дробей, как это?

Все просто. Вычтем из 2/4 ¼ -ую. При вычитании важно, чтобы знаменатель(4) одной дроби совпадал со знаменателем второй. (1) и (2) – называются числителями.

Итак, вычитаем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда вычитаем числители (2-1)/4, так получаем 1/4.

Вычитание пределов

Вычитание пределов – это не сложно. Тут достаточно простой формулы, в которой говорится, что если предел разности функций стремится к числу а, то это равносильно разности этих функций, предел каждой из которых стремится к числу а.

Вычитание смешанных чисел

Смешанное число – это целое число с дробной частью. То есть если числитель меньше знаменателя – то дробь меньше единицы, а если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы. Смешанное число – это дробь, которая больше единицы и у которой выделена целая часть, изобразим на примере:

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Чтобы произвести вычитание смешанных чисел, нужно:

Привести дроби к общему знаменателю.
Целую часть внести в числитель
Произвести вычисление

Урок вычитание

Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого ищется разность 2 чисел и ответов является третье.Формула сложения выражается так: a – b = c.

Примеры и задачи Вы сможете найти ниже.

При вычитании дробей следует помнить, что:

1. Вычитаются числители, а не знаменатели.

Итак, вычитаем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда вычитаем числители (2-1)/4, так получаем 1/4. При складывании дробей, вычитаются только числители!

2. Чтобы осуществить вычитание, убедитесь, что знаменатели равны.

Попалась разность дробей, к примеру, 1/2 и 1/3, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 3/6 и 2/6. Складываем (3-2)/6 и получаем 1/6.

3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.

Вычитание 1 класс

Первый класс – начало пути, начало обучения и изучения основ, в том числе и вычитания. Обучение стоит вести в игровой форме. Всегда в первом классе вычисления начинают с простых примеров на яблоках, конфетах, грушах.

Используется этот метод не зря, а потому что детям намного интереснее, когда с ними играют. И это не единственная причина.

Яблоки, конфеты и тому подобное дети видели очень часто в свой жизни и имели дело с передачей и количеством, поэтому научить сложению таких вещей будет не сложно.

https://www.youtube.com/watch?v=Os22o9h3BXA

Задачи на вычитание первоклассникам можно придумать целую тучу, к примеру:

Задача 1. Утром, гуляя по лесу ежик нашел 4 грибочка, а вечером, когда пришел домой, ежик на ужин скушал 2 грибочка. Сколько грибочков осталось?

Задача 2. Маша пошла в магазин за хлебом. Мама дала маше 10 рублей, а хлеб стоит 7 рублей. Сколько Маша должна принести денег домой?

Задача 3. В магазине утром на прилавке находилось 7 килограмм мяса. До обеда посетители выкупили 5 килограмм. Сколько килограмм осталось?

Задача 4. Рома вынес во двор конфеты, который дал ему папа. У Ромы было 9 конфет, а своему другу Никите он дал 4. Сколько конфет осталось у Ромы?

Первоклассники в основном решают задачи, в которых ответом будет число от 1 до 10.

Вычитание 2 класс

Второй класс это уже выше первого, а соответственно и примеры для решения тоже. Итак, приступим:

Числовые задания:

Однозначные числа:

10 – 5 =
7 – 2 =
8 – 6 =
9 – 1 =
9 – 3 – 4 =
8 – 2 – 3 =
9 – 9 – 0 =
4 – 1 – 3 =

Двузначные числа:

10 – 10 =
17 – 12 =
19 – 7 =
15 – 8 =
13 – 7 =
64 – 37 =
55 – 53 =
43 – 12 =
34 – 25 =
51 – 17 – 18 =
47 – 12 – 19 =
31 – 19 – 2 =
99 – 55 – 33 =

Текстовые задачи

Вычитание 3-4 класс

Суть вычитания в 3-4 классе – вычитание в столбик больших чисел.

Как вычитать в столбик? Рассмотрим на примере:

Затем производим вычитание справа налево, то есть из числа 2 число 1. Получаем единицу:

Далее вычитаем из единицы ноль и получаем единицу:

Вычитая из тройки девять, нужно позаимствовать 1 десяток. То есть из 4 вычитаем 1 десяток. 10+3-9=4.

А так как у 4 заняли 1, то 4-1=3

Ответ: 3411.

Вычитание 5 класс

Пятый класс – это время для работы над сложными дробями с разными знаменателями. Повторим правила:1. Вычитаются числители, а не знаменатели.

2. Чтобы осуществить вычитание, убедитесь, что знаменатели равны.

3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.

Вычитание презентация

Ссылка на презентацию находится ниже. Презентация рассматривает основные вопросы вычитания шестого класса:Скачать презентацию

Читайте также: Интерфейс rs-232c

Презентация сложение и вычитание

У нас вы можете скачать Презентацию, которая ориентирована на учеников шестого класса.

Примеры на вычитание

Хотите потренироваться на примерах на вычитание? Это хорошо. Немного ниже вы можете увидеть фотографию с примерами для устного счета.

Также еще упражнение на вычитание трехзначных чисел, желательно выполнять устно!

Тема сложение и вычитание

Тему вычитания мы рассмотрели выше, а вот тему сложения вы можете изучить здесь

Примеры на сложение и вычитание

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра “Быстрый счет”

Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Играть сейчас

Игра “Математические матрицы”

«Математические матрицы» великолепное упражнение для мозга детей, которое поможет вам развить его мыслительную работу, устный счет, быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке ниже данное число «29», а искомая пара «5» и «24».

Играть сейчас

Игра “Числовой охват”

Игра «числовой охват» нагрузит вашу память во время занятий с данным упражнением.

Суть игры – запомнить цифру, на запоминание которой отводится около трех секунд. Затем нужно ее воспроизвести. По мере прохождения этапов игры, количество цифр растет, начинаете с двух и далее.

Играть сейчас

Игра “Математические сравнения”

Прекрасная игра, с которой вы сможете расслабиться телом, а напрячься мозгом. На скриншоте показан пример данной игры, в которой будет вопрос, связанный с картинкой, а вам надо будет ответить. Время ограниченно. Как много вы успеете ответить?

Играть сейчас

Игра “Угадай операцию”

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным.

На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку.

Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра “Упрощение”

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра “Визуальная геометрия”

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов.

В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки.

Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра “Копилка”

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше – записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет – НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Записаться на курсПодробнее

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту.

В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Записаться на курсПодробнее

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Записаться на курсПодробнее

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Записаться на курсПодробнее

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Записаться на курсПодробнее

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее.

С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля.

Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Записаться на курсПодробнее

Источник: https://cepia.ru/vichitanie

Сложение и вычитание целых чисел

В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел, а также правила для их сложения и вычитания.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3

Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+−2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1

Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

5 − 3 = 2

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

5 + (−3)

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

(+3) − (+1)

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

(+3) − (+7)

Заменим вычитание сложением:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

(−4) − (+5)

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9

Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Задания для самостоятельного решения

Источник: http://spacemath.xyz/slozhenie_i_vychitanie_celyh_chisel/

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если «a» и «b» — положительные числа, то вычесть из числа «a» число «b», значит найти такое число «c», которое при сложении «с» числом «b» даёт число «a».

a − b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Запомните!

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

https://www.youtube.com/watch?v=tXva6YkMYBE

Или по другому можно сказать, что вычитание числа «b» — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу «b».

a − b = a + (−b)

Пример.

6 − 8 = 6 + (− 8) = −2

Пример.

0 − 2 = 0 + (−2) = −2

Запомните!

Стоит запомнить выражения ниже.

0 − a = − a a − 0 = a

a − a = 0

Как видно из примеров выше вычитание числа «b» — это сложение с числом противоположным числу «b».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

−3 − (+ 4) = −3 + (−4) = −7
−6 − (−7) = −6 + (+ 7) = 1
5 − (−3) = 5 + (+ 3) = 8

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

+ (+ a) = + a

+ (−a) = −a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «−».

(−6) + (+ 2) − (−10) − (− 1) + (− 7) = −6 + 2 + 10 + 1 − 7 = − 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

a − (− b + c) + (d − k + n) = a + b − c + d − k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

Правило знаков для чисел

+ (+) = +	+ (−) = −
− (−) = +	− (+) = −

Или выучить простое правило.

Запомните!

Минус на минус даёт плюс.

Плюс на минус даёт минус.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Fotric%2Fsubtraction_negative_numbers.php

Проясняем слово ВЫЧИТАНИЕ

Продолжаем прояснять ключевые для математики 1 класс слова. Сложениемы уже разобрали, теперь проясняем слово вычитание. Прояснять слова — дело полезное, так как непонятые слова блокируют способности — к математике в целом. А, наоборот, прояснённые слова повышают способности к этой области.

Чтобы прояснить слово, нужно составлять с ним примеры, раскрывающие смысл этого слова (подробнее — в статье «Как прояснить слово«). Например, предложение «деревья растут корнями вниз» не раскрывает смысл слова корни.

А предложение «деревья получают из земли воду и минеральные вещества по разветвлённой системе трубочек, утолщающихся к основанию дерева, причём эти корни обычно размером с надземную часть дерева» раскрывает смысл слова корни, так как описыаает и их строение, и их назначение.

Поскольку составлять примеры поначалу может быть сложно, в помощь мы помогаем и составляем их с вами. Словарное определение слова:

Как видите, это бесполезное определение, с ним особо не поработаешь. Так что обратимся к определению слова сложение и попытаемся подумать.

Следовательно:

Наш пример, раскрывающий смысл слова вычитание:

Есть множество слонов — стадо из десяти взрослых и пяти слонят (итого 15). Одна слониха увела всех слонят в детсад. Мы получили меньшее стадо, где осталось после отнятия детей и воспитательницы-слонихи всего-то 9 слонов. Действие, когда мы отнимаем слонов и пересчитываем остаток — вычитание.

Ваш пример:

Наш пример:

Есть множество гравия в виде кучи. Вася отобрал три тачки гравия. Новое множество гравия меньше на три тачки — значит, произошло вычитание. Но мы не знали, сколько тачек гравия в исходной куче, поэтому не можем исчислить новое меньшее множество. Тем не менее, вычитание произошло.

Ваш пример:

Наш пример:

В теории, из пяти яблок можно вычесть семь. Получится воображаемое множество, меньшее первоначального. Оно записывается как -2. То есть, ябоок не только нет, но и не будет ещё два яблока. Но отрицательные числа не только воображаемые.

Это множества, где вычитание отложено на будущее. И поэтому когда к -2 яблокам мы прибавляем четыре, то сначала мы забираем два (долг с прошлого раза), а потом уже прибавляем оставшиеся два.

Так что можео сказать: любое вычитание — это сложение первичного множества с отрицательным множеством, где есть долг с прошлого раза.

Ваш пример:

Напоминаем: полное прояснение слова включает составление раскрываюших смысл предложений с каждым определением и каждым образным выражением из словаря..

Также в прояснение слова входит и прояснение его происхождения.

Происхождение слова вычитание:

Корень слова вычитание — чит, такой же, как в словах счёт, число, чтение, почёт. Он связан с уделением внимания. Приставка — вы-, по Большому толковому словарю:

Значит, вычитание с точки зрения происхождения — изъятие, удаление внимания.

Наш пример с учётом происхождения слова вычитание:

Вася следил, чтобы 10 школьников не попали под машину. За тремя из них пришли родители. Они смотрели, как десяток детей бесится еа площадке. Вася убрал внимание с тех, ща кем теперь следили родители, и следил за оставшимися семью. Семь школьников — результат вычитания, хоть других троих никто не забирал.

Ваш пример:

Слово полностью прояснено, а не зазубрено, когда

Человек даёт правильное определение слова своими словами мгновенно.
Человек легко и быстро составляет правильные примеры, подробно раскрывающие смысл этого слова.

Удачного прояснения слова вычитание!

Пишите ваши примеры со словом вычитание, и мы поможем их исправить, если нужно

Источник: http://r-v-r.info/projacnajem/matematika/vychitanie/

Математика

Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа – слагаемыми.

Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком “минус”. Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.

Вычитание чисел

Результат действия называется разностью. Сами числа – уменьшаемое и вычитаемое.

Сложение положительного и отрицательного числа – это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.

Например, –8+3=–(8-3)=–5; или -7+45=+(45-7)=+38=38.

Умножение чисел

Результат умножения двух или более чисел называется произведением, а сами числа – множителями.

Умножить число а на b – значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

Например,

Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,

Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,

От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba.

Законы сложения*

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.

Законы умножения*

1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

3) При любых значениях a, b и c верно равенство (a+b)с=aс+bс. Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения), который формулируется так: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения. Аналогично можно записать: (a-b)с=aс-bс.

Источник: http://fizmat.by/math/arithmetic/action

Страница не найдена

Возможно, запрашиваемая Вами страница была перенесена или удалена. Также возможно, Вы допустили небольшую опечатку при вводе адреса – такое случается, поэтому еще раз внимательно проверьте

Вы можете продолжить перейдя на главную страницу

ОШИБКА, -и, ж. Неправильность в действиях, мыслях. О. в вычислении. Орфографическая о. Писать без ошибок, б. вышла (ошибся кто-н.; разг.).

Ударение: оши́бка ж.

То, что невозможно рассчитать и предсказать заранее, опираясь на накопленные знания.
1. Неправильность в действиях, поступках, суждениях, мыслях.
2. Погрешность в написании слова.

ОШИ́БКА, ошибки, ·жен. Неправильность в действиях, поступках, высказываниях, мыслях, погрешность. Ошибка в чем-нибудь. Допустить ошибку. Вкралась ошибка. Орфографическая ошибка. Пишет с грубыми ошибками. Хронологическая ошибка.

Судебная ошибка. Сделать что-нибудь по ошибке или ошибкою (нечаянно, непреднамеренно, случайно). «Он не делал ни одной ошибки в письме.» Гоголь. «Гораздо благороднее сознать свою ошибку, чем довести доело до непоправимого.» Л.Толстой.

промах, оплошность, оплошка, просчет; погрешность, ляпсус; грех, заблуждение, неловкость, опечатка, описка, отступление, уклонение, упущение, неправильность, шероховатость, ложный шаг, провес, промер, просмотр, просчёт, аномалия, уродливость, недостаток, неосторожность, преступление; проруха, аберрация, накладка, недогляд, обман, тавтология, ослепление, гистерология, искажение, неверный шаг, паралогизм, оговорка, обольщение, ослышка, обмолвка, неверность, пропуск, помарка, промашка, ошибочка, обсчет, парахронизм, перлы, провинность, зевок, прегрешение, недоработка, самообман, прочет, коллимация, иллюзия, недосмотр, обвес, неточность, перекос, самообольщение

сущ1. погрешность, ляпсуснедостаточно точное выполнение какой-либо работы2. промах, оплошность, оплошка, просчетнеправильное действие

гистерология, грех, заблуждение, зевок, иллюзия, искажение, коллимация, ляп, ляпсус, неверность, недогляд, недоработка, недосмотр, неправильность, неточность, обвес, обмолвка, обсчет, оговорка, опечатка, описка, оплошка, оплошность, ослышка, ошибочка, паралогизм, парахронизм, перекос, погрешность, помарка, прегрешение, провес, провинность, промах, промер, пропуск, проруха, просмотр, просчет, тавтология, упущение

оши́бка,оши́бки,оши́бки,оши́бок,оши́бке,оши́бкам,оши́бку,оши́бки,оши́бкой,оши́бкою,оши́бками,оши́бке,оши́бках

Источник: https://glosum.ru/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Вычитание

§ 28. Что такое вычитание. У ученика было 7 тетрадей; 3 из них он отдал брату; чтобы узнать, сколько тетрадей у него осталось, мы должны от 7 тетрадей отнять 3 тетради (остается 4 тетради).

Действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе, называется вычитанием.

В нашем примере из числа 7 надо вычесть число 3; получается число 4.

Число, от которого отнимают, называется уменьшаемым; число, которое отнимают, называется вычитаемым; число, получаемое после вычитания, называется разностью. Разность иначе называется остатком.

В нашем примере уменьшаемое 7, вычитаемое 3, разность 4.

Знак вычитания есть – (минус); он ставится между уменьшаемым (слева) и вычитаемым (справа).

Так: 7 – 3 = 4.

Очевидно, что из данного числа можно вычесть всякое число, которое меньше его или равно ему; но ни из какого числа нельзя вычесть число, которое больше его. Поэтому вычитаемое не может быть больше уменьшаемого.

§ 29. Сравнение вычитания со сложением. При производстве вычитания одно число, именно уменьшаемое, разлагается на два числа.

Например, если мы, отняв 5 от 9, нашли, что осталось 4, то, значит, мы разложили 9 на два числа: 5 (отнятые единицы) и 4 (оставшиеся единицы).

Очевидно, что если эти два числа соединим в одно, то получим то число 9, которое разлагали; значит, уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с остатком; иначе говоря, уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и остаток – слагаемые.

При сложении слагаемые даются, а сумма отыскивается; при вычислении же даются сумма и одно слагаемое, а другое слагаемое отыскивается.

Значит, число, которое при сложении ищется, – при вычитании дается, и наоборот; поэтому говорят, что вычитание есть действие, обратное сложению.

§ 30. Замечания. 1) Вычитание можно было бы определить сразу как действие, обратное сложению, посредством которого по данной сумме в данному слагаемому отыскивается другое слагаемое.

Но в самом начале элементарного изложения арифметики представляется более простым и наглядным определить вычитание как отнимание от уменьшаемого части, равной вычитаемому, а потом уже показать соотношение между вычитанием и сложением (как это сделано в § 29).

2) Действие вычитания всегда возможно и дает единственный результат, если только вычитаемое не более уменьшаемого. Если, например, из a требуется вычесть b, то мы можем выполнить это, отняв от a последовательно одну за другой столько единиц, сколько содержится в b.

Отняв одну единицу, получим в остатке единственное число a – 1, непосредственно предшествующее в натуральном ряду числу a; отняв другую единицу, мы опять-таки получим единственное число a – 1 – 1, непосредственно предшествующее числу a – 1, и т. д.

Если b < a, то, отняв b единиц, мы получим некоторое (и только одно) число натурального ряда, которое и будет разностью; если b = a, то после отнимания не останется никакого числа, другими словами, остаток будет нуль; наконец, если b > a, то вычитание невозможно.

§ 31. Вычитание однозначного числа. Чтобы без затруднения вычитать всякое число, надо сначала научиться вычитать в уме однозначное число из однозначного и двузначного. Искомая разность легко находится посредством сложения. Например, чтобы узнать, сколько будет 15 без 8, вспомним, какое число при сложении с 8 дает 15; 8 да 7 составляет 15; значит, 15 без 8 будет 7.

Следует привыкнуть выполнять это вычитание в уме и притом быстро.

Замечание. 7 – 0 = 7 (если от 7 единиц ничего не отнять, то останется 7 единиц); вообще, при вычитании нуля из любого числа всегда получается это самое число.

8 – 8 = 0 (если от 8 единиц отнять 8 единиц, то ничего не останется); вообще, разность двух одинаковых чисел всегда равна нулю.

Из нуля нельзя вычесть никакое другое число, потому что все другие числа больше нуля.

§ 32. Вычитание многозначного числа.
Пример: из 60072 вычесть 7345.

Расположим действие так же, как и при сложении:

Будем держаться того же порядка, как и при сложении, т. е. станем вычитать единицы из единиц, десятки и з десятков и т. д.

5 единиц из 2 единиц нельзя вычесть; берем от 7 десятков 1 десяток, он содержит 10 единиц, которые мы присоединяем к 2 единицам, стоящим в уменьшаемом; получается 12 единиц; из них мы вычитаем 5 единиц вычитаемого; в остатке получаем 7 единиц. Теперь переходим к десяткам.

Из тех 7 десятков, которые имелись в уменьшаемом, 1 десяток мы уже использовали при вычитании единиц (чтобы не забыть этого, мы над цифрой 7 десятков поставили точку); остается 6 десятков; из них мы вычитаем 4 десятка вычитаемого; в остатке получается 2 десятка. Переходим к сотням.

В уменьшаемом сотен нет; обращаемся к тысячам и видим, что их в уменьшаемом тоже нет; поэтому дем дальше – к десяткам тысяч; их в уменьшаемом имеется 6; один из этих 6 десятков тысяч мы берем (в знак чего над цифрой 6 ставим точку); он содержит 10 тысяч; одну из этих тысяч мы берем, она содержит 10 сотен, из которых мы вычитаем 3 сотни вычитаемого и получаем в остатке 7 сотен. У нас осталось еще 9 тысяч; из них мы вычитаем 7 тысяч вычитаемого, получаем 2 тысячи в остатке. Наконец, оставшиеся 5 десятков тысяч уменьшаемого переходят в остаток без изменения, так как из них ничего не вычитается. Таким образом, остаток составляет 52727.

Вот еще примеры на вычитание:

Вычитание удобнее производить от низших разрядов к высшим потому, что при таком порядке мы в случае надобности всегда можем взять 1 единицу из высших разрядов для раздробления ее в единицы низшего разряда.

§ 33. Как вычесть сумму и как вычесть из суммы. При вычитании многозначного числа в предыдущем параграфе мы вычитали единицы из единиц, десятки из десятков и т.д. При этом мы пользовались следующими правилами.

1) Чтобы вычесть сумму, можно вычесть каждое слагаемое отдельно одно за другим.

Так, чтобы вычесть число 325, т. е. сумму 5 + 20 + 300, можно вычесть отдельно слагаемые 5, 20 и 300.

В общем виде это правило можно выразить таким равенством:

a – (b + c + d + …) = a – b – c – d – … .

2) Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого.

Так,

(30 + 20) – 10 = 50 – 10 = 40,

или

(30 + 20) – 10 = (30 – 10) + 20 = 20 + 20 = 40,

или

(30 + 20) – 10 = 30 + (20 – 10) = 30 + 10 = 40.

Вообще:

(a + b + c + …) – m = (a – m) + b + c + … = a + (b – m) + c + … .

Рассматривая вычитаемое как сумму простых единиц, десятков, сотен и т. д., мы вычитаем отдельно единицы, потом десятки, затем сотни и т. д.

Чтобы вычесть единицы, мы рассматриваем уменьшаемое как сумму разрядов и вычитаем единицы вычитаемого из одного слагаемого этой суммы, именно из единиц.

Если этого сделать нельзя, мы берем один десяток уменьшаемого и, раздробив его в простые единицы, присоединяем эти единицы к единицам уменьшаемого и потом вычитаем единицы вычитаемого. Если десятков в уменьшаемом не окажется, мы берем 1 сотню, раздробляем ее в десятки и т.д.

§ 34. Проверка сложения. Чтобы убедиться, что действие сделано верно, его надо проверить. Для проверки сложения обыкновенно складывают слагаемые во второй раз в ином порядке, чем в первый. например, производя сложение снизу вверх. Если при втором сложении получается та же сумма, то весьма вероятно, что сложение произведено верно.

С другой стороны, можно проверить сложение и вычитанием; для этого надо вычесть из полученной суммы одно из слагаемых; если разность окажется равной сумме остальных слагаемых, то можно считать вероятным, что действие сделано верно.

§ 35. Проверка вычитания. Так как уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и остаток слагаемые, то для проверки вычитания достаточно сложить вычитаемое с остатком; если получится число, равное уменьшаемому, то весьма вероятно, что действие сделано верно.

С другой стороны, так как вычитаемое и остаток – слагаемые, а уменьшаемое – их сумма и так как от перестановки слагаемых сумма не меняется, то вычитание можно проверить и вычитанием; для этого надо из уменьшаемого вычесть остаток; если при этом получится вычитаемое, то можно считать вероятным, что действие произведено верно.

§ 36. Уменьшение числа на несколько единиц. Уменьшить какое-нибудь число на несколько единиц значит, вычесть из него эти несколько единиц. Так, если требуется 100 уменьшить на 30, то это значит, что требуется от 100 отнять 30 (получим 70).

§ 37. Сравнение двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаемся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого. Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 20 меньше 35 (или на сколько 35 больше 20), надо из 35 вычесть 20; тогда найдем, что 20 меньше 35 (или 35 больше 20) на 15 единиц.

§ 38. Изменение разности с изменением данных чисел может быть выведено как следствие изменения суммы, так как уменьшаемое есть сумма, а вычитаемое и разность слагаемые.

Поэтому,
если к уменьшаемому прибавим несколько единиц, то разность увеличится на столько же единиц; если от уменьшаемого отнимем несколько единиц, то разность уменьшится на столько же единиц; если к вычитаемому прибавим несколько единиц, то разность уменьшится на столько же единиц;

если от вычитаемого отнимем несколько единиц, то разность увеличится на столько же единиц.

Полезно обратить особое внимание на то, что разность не изменится, если мы уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличим или уменьшим на одно и то же число.

Так,

(11 + 6) – (3+ 6) = 11 – 3 = 8.

§ 39. Как вычесть разность. Пусть требуется из 30 вычесть разность 12 – 8.

Вместо того, чтобы сначала найти эту разность (она будет 4) и затем ее вычесть из 30 (получим 26), мы можем поступить так: увеличим на 8 и уменьшаемое 30 и вычитаемое 12 – 8, тогда вместо 30 будем иметь 38, а вместо разности 12 – 8 получим 12.

Теперь из 38 вычитаем 12; найдем 26. Это и будет искомое число, так как мы увеличили и уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же число, отчего разность не изменится.

Можно еще поступить и так: вычтем из 30 не 12 без 8, а прямо 12 (получим 18). Но мы вычли больше, чем требовалось, на 8, от этого осталось меньше, чем следует, на 8; значит, если увеличить 18 на 8, то найдем надлежащий остаток 26. Таким образом,

чтобы вычесть разность, можно прибавить вычитаемое и затем отнять уменьшаемое; или же отнять уменьшаемое и затем прибавить вычитаемое. (Если это возможно, т. е. если уменьшаемое не больше того числа, из которого требуется вычесть разность.)

В общем виде это правило можно выразить такими равенствами:

a – (b – c) = a + c – b; a – (b – c) = a – b + c.

Источник: http://mthm.ru/arithmetic/subtraction